cmath
— Математические функции для комплексных чисел¶
Этот модуль предоставляет доступ к математическим функциям для комплексных чисел. Функции в этом модуле принимают в качестве аргументов целые числа, числа с плавающей точкой или комплексные числа. Они также принимают любой объект Python, имеющий метод __complex__()
или __float__()
: эти методы используются для преобразования объекта в комплексное число или число с плавающей точкой, соответственно, а затем функция применяется к результату преобразования.
Примечание
Для функций, связанных с разрезами ветвей, возникает проблема, как определить эти функции на самом разрезе. Следуя статье Кахана «Ветвистые разрезы для сложных элементарных функций», а также приложению G к C99 и более поздним стандартам C, мы используем знак нуля, чтобы отличить одну сторону ветвистого разреза от другой: для ветвистого разреза вдоль (части) действительной оси мы смотрим на знак мнимой части, а для ветвистого разреза вдоль мнимой оси мы смотрим на знак действительной части.
Например, функция cmath.sqrt()
имеет срез ветви вдоль отрицательной вещественной оси. Аргумент complex(-2.0, -0.0)
рассматривается так, как будто он лежит под срезом ветви, и поэтому дает результат на отрицательной мнимой оси:
>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
-1.4142135623730951j
Но аргумент complex(-2.0, 0.0)
рассматривается так, как будто он лежит выше ветви cut:
>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
1.4142135623730951j
Преобразования в полярные координаты и обратно¶
Комплексное число z
в Python хранится во внутренних прямоугольных или картезианских координатах. Оно полностью определяется своей реальной частью z.real
и мнимой частью z.imag
.
Полярные координаты дают альтернативный способ представления комплексного числа. В полярных координатах комплексное число *z определяется модулем r и фазовым углом phi. Модуль r - это расстояние от z до начала координат, а фаза phi - это угол против часовой стрелки, измеряемый в радианах, от положительной оси x до отрезка прямой, соединяющей начало координат с z.
Следующие функции могут использоваться для преобразования прямоугольных координат в полярные и обратно.
- cmath.phase(x)¶
Возвращает фазу x (также известную как аргумент от x) в виде float.
phase(x)
эквивалентноmath.atan2(x.imag, x.real)
. Результат лежит в диапазоне [-π, π], а срез ветви для этой операции лежит вдоль отрицательной вещественной оси. Знак результата совпадает со знакомx.imag
, даже еслиx.imag
равен нулю:>>> phase(complex(-1.0, 0.0)) 3.141592653589793 >>> phase(complex(-1.0, -0.0)) -3.141592653589793
Примечание
Модуль (абсолютное значение) комплексного числа x можно вычислить с помощью встроенной функции abs()
. Отдельной функции модуля cmath
для этой операции не существует.
- cmath.polar(x)¶
Возвращает представление x в полярных координатах. Возвращает пару
(r, phi)
, где r - модуль x, а phi - фаза x.polar(x)
эквивалентно(abs(x), phase(x))
.
- cmath.rect(r, phi)¶
Возвращает комплексное число x с полярными координатами r и phi. Эквивалентно
complex(r * math.cos(phi), r * math.sin(phi))
.
Силовые и логарифмические функции¶
- cmath.exp(x)¶
Возвращает e, возведенное в степень x, где e - основание натурального логарифма.
- cmath.log(x[, base])¶
Возвращает логарифм от x по заданному базису. Если база не указана, возвращается натуральный логарифм от x. Имеется один срез ветви - от 0 вдоль отрицательной вещественной оси до -∞.
Тригонометрические функции¶
- cmath.acos(x)¶
Возвращает косинус дуги от x. Есть два отрезка ветви: Один простирается вправо от 1 вдоль вещественной оси до ∞. Другой - влево от -1 вдоль вещественной оси до -∞.
- cmath.atan(x)¶
Возвращает касательную к дуге x. Существует два отрезка ветви: Один простирается от
1j
вдоль мнимой оси до∞j
. Другой - от-1j
вдоль мнимой оси до-∞j
.
- cmath.cos(x)¶
Возвращает косинус от x.
- cmath.sin(x)¶
Возвращает синус от x.
- cmath.tan(x)¶
Возвращает тангенс к x.
Гиперболические функции¶
- cmath.acosh(x)¶
Возвращает обратный гиперболический косинус от x. Имеется одна ветвь, простирающаяся влево от 1 вдоль вещественной оси до -∞.
- cmath.asinh(x)¶
Возвращает обратный гиперболический синус от x. Имеется два отрезка ветви: Один простирается от
1j
вдоль мнимой оси до∞j
. Другой - от-1j
вдоль мнимой оси до-∞j
.
- cmath.atanh(x)¶
Возвращает обратный гиперболический тангенс к x. Существует два отрезка ветви: Один простирается от
1
вдоль вещественной оси до∞
. Другой - от-1
вдоль вещественной оси до-∞
.
- cmath.cosh(x)¶
Возвращает гиперболический косинус x.
- cmath.sinh(x)¶
Возвращает гиперболический синус от x.
- cmath.tanh(x)¶
Возвращает гиперболический тангенс к x.
Функции классификации¶
- cmath.isfinite(x)¶
Возвращает
True
, если действительная и мнимая части x конечны, иFalse
в противном случае.Added in version 3.2.
- cmath.isinf(x)¶
Возвращает
True
, если действительная или мнимая часть x равна бесконечности, иFalse
в противном случае.
- cmath.isnan(x)¶
Возвращает
True
, если действительная или мнимая часть x является NaN, иFalse
в противном случае.
- cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)¶
Возвращает
True
, если значения a и b близки друг к другу, иFalse
в противном случае.Считаются ли два значения близкими или нет, определяется в соответствии с заданными абсолютными и относительными допусками.
rel_tol - это относительный допуск - максимально допустимая разница между a и b по отношению к большему абсолютному значению a или b. Например, чтобы установить допуск в 5%, передайте
rel_tol=0.05
. Допуск по умолчанию равен1e-09
, что гарантирует, что два значения будут одинаковыми примерно в пределах 9 десятичных цифр. Значение rel_tol должно быть больше нуля.abs_tol - минимальный абсолютный допуск - полезно для сравнений вблизи нуля. abs_tol должно быть не меньше нуля.
Если ошибок не возникло, результатом будет:
abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)
.Специальные значения IEEE 754
NaN
,inf
и-inf
будут обрабатываться в соответствии с правилами IEEE. В частности,NaN
не считается близким к любому другому значению, включаяNaN
.inf
и-inf
считаются близкими только к самим себе.Added in version 3.5.
См.также
PEP 485 – Функция для проверки приблизительного равенства
Константы¶
- cmath.pi¶
Математическая константа π, в виде float.
- cmath.e¶
Математическая константа e, в виде float.
- cmath.tau¶
Математическая константа τ, в виде float.
Added in version 3.6.
- cmath.inf¶
Положительная бесконечность с плавающей точкой. Эквивалентно
float('inf')
.Added in version 3.6.
- cmath.infj¶
Комплексное число с нулевой действительной частью и положительной бесконечной мнимой частью. Эквивалентно
complex(0.0, float('inf'))
.Added in version 3.6.
- cmath.nan¶
Значение с плавающей точкой «не число» (NaN). Эквивалентно
float('nan')
.Added in version 3.6.
- cmath.nanj¶
Комплексное число с нулевой действительной частью и мнимой частью NaN. Эквивалентно
complex(0.0, float('nan'))
.Added in version 3.6.
Обратите внимание, что выбор функций похож, но не идентичен тому, что есть в модуле math
. Причина наличия двух модулей заключается в том, что некоторые пользователи не интересуются комплексными числами, а возможно, даже не знают, что это такое. Они предпочтут, чтобы math.sqrt(-1)
вызывал исключение, а не возвращал комплексное число. Также обратите внимание, что функции, определенные в cmath
, всегда возвращают комплексное число, даже если ответ может быть выражен в виде вещественного числа (в этом случае комплексное число имеет мнимую часть, равную нулю).
Замечание о разрезах ветвей: Это кривые, на которых данная функция перестает быть непрерывной. Они являются необходимым свойством многих сложных функций. Предполагается, что если вам нужно вычислять с помощью сложных функций, то вы понимаете, что такое срезы ветвей. Обратитесь за просвещением практически к любой (не слишком элементарной) книге по комплексным переменным. Для получения информации о правильном выборе разрезов ветвей для численных целей хорошей ссылкой будет следующая:
См.также
Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing’s sign bit. В Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165–211.